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《现代控制理论》试卷 1. 浅析精准数学模型与健壮控制规律的作用及二者间的关系？ 答：在自动控制的系统中，为了使我们设计的自动控制系统的稳定性和暂态性能满足我们的要求，我们就必须要对系统的暂态过程进行定量的理论分析，以掌握其内在的控制规律。 用来描述系统各部分之间因果关系的数学表达式就是系统的数学模型，它的作用如上所述，可以将一个具体的系统根据其内部结构转变成我们熟悉的数学表达式，不论是单输入单输出系统的微分方程、传递函数还是多输入多输出下的状态方程。 而系统的控制规律，可以具体到例如稳态误差、调节时间、超调量、可控性等这些指标，通过这些指标可以定量的描述系统在遇到扰动量后能不能按照我们的要求进行控制，控制的效果如何。 每一个确定的控制系统都可以列出不唯一的多个数学模型，在不同的数学模型中我们对系统控制规律分析的侧重点不尽相同。例如在研究系统可控性时，如果一开始建模我们就准确的列出了其标准性，这就对我们之后的分析带来了方便和快捷。并且不同类型的控制系统也有其自身适用的模型，在多输入多输出的系统中我们如果还利用信号流图或者传递函数等模型，那么不但建模困难还可能会对系统规律的分析出现较大的偏差。综上所述，精准的数学模型可以准确的描述控制系统的自身规律，通过对模型的分析我们可以准确掌握现有的控制规律，从而根据需要对系统进行改善，使系统更好的完成控制要求。 2. 简述非奇异线性变换在控制系统分析中的作用？ 答：在一个确定的控制系统中，我们可以选择不同的状态变量和不同的形式来进行描述。所以同一个控制系统可以写出不同的矩阵，非奇异线性变换就是将原状态矢量做线性变换，从而得出另一状态矢量，将系统的状态空间表达式变成新的形式。非奇异线性变换只是将描述系统的方程变化了，系统的特征值、系统本身并没有变化，不影响其稳定性、能控能观性。非奇异线性变换将描述系统的方程变成一种可以让我们更直观分析系统的形式，比如对角标准型可以让我们直观得到系统的稳定性，对于能控标准型和能观标准型则可以让我们更好的分析其能控和能观性。 3.浅析状态反馈与状态观测器在极点配置时的分离特性？ 答：在许多控制系统中，我们实现解耦等问题时都要需要状态反馈，但是许多状态变量无法直接检测到，状态观测器可以实现状态反馈。但是在闭环系统中，极点包括直接状态反馈系统的极点和观测器自身的极点两个部分，但是这二者独立，相互分离。由观测器构成的反馈闭环系统，只要系统能够观测，其状态反馈矩阵和观测器反馈举证相互不影响，保持独立，可以分别设计。这个性质称为闭环极点设计的分离性。 4. 什么是解耦控制？ 工程中一般采取什么方法？ 答：在多输入多输出的控制系统中，每个输入之间相互作用，每个输出都收到各个输入的控制，这给我们对系统的分析造成了很大困难，解耦控制就是使系统中的每一个输出都只受单个输入的控制。在工程中一般有两中方法：前馈补偿器解耦和状态反馈解耦。 答：当扰动作用时，输出量将偏离原来的稳定值，这时由于反馈的作用通过系统内部的自动调节，系统可以回到原来的稳定值稳定下来，此时系统使稳定的；当系统从一个稳态过度到另一个稳态时，都要经历一个过渡过程，表征这个过渡过程性能的指标叫做暂态性能指标。包括超调量，上升时间，调节时间和震荡次数等。在实际生活中只是判定稳定还不够，我们还要知道系统到底有多稳定，此时我们考虑系统的稳定裕度是多少。 当由于内部的相互作用，使系统出现发散而处于不稳定的状态，这时系统是不稳定的。对于任何控制系统来说，首要的条件就是系统能够稳定。 - 线性连续系统：其稳定性只取决于系统本身的固有特性（系统结构或者是结构参数等）和扰动量或输入量没有关系，它取决于扰动消失后暂态分量是否会衰减。它完全决定于系统闭环传递函数的极点分布，若所有的极点都在s轴的负半平面则系统稳定。即：特征根决定系统的稳定性，闭环零极点决定系统的品质
1）第一个稳定判据（时域下的稳定判据，适用于低阶系统）：代数稳定判据，劳斯稳定判据、赫尔维兹判据等。基本原理还是以特征值的取值来判断。以劳斯判据为例，当列出劳斯表后，根据首列的符号即可判断其稳定性，在确定稳裕度时可以将原闭环方程中的s使用s=z-δ代替解出稳点裕度δ。 2）第二个稳定判据（适用于高阶系统，有待定参数的系统）：根轨迹法。根轨迹是在s平面上所有特征根的连线。在图中可以看到所有特征根的分布，在系统的传递函数中有未知的参数K时，我们可以根据根轨迹的绘制规则画出当所有K值下的所有特征值的分布，每确定一个K值，就可以等到系统的一组特征值，从而根据特征值的在s平面的分布判断系统是否稳定。 3）第三个稳定判据（频率特性下的稳定判据）：奈式稳定判据、伯德图对数稳定判据。奈式稳定判据是将s平面映射到复平面上。奈式曲线绕（-1，j0）点逆时针旋转的周数N，在s平面上的开环极点个数P，闭环极点个数Z，满足Z=P-N，则系统是稳定的。在频域下用相位裕度和增益裕度来判断其相对稳定性。 在伯德图对数稳定判据：画出波特图后可以直观的看出系统是否稳定和稳定裕度的大小。 4）第四个判据（常用于多输入多输出线性系统）：李雅普诺夫稳定判据。与经典控制不同，李雅普诺夫意义下的稳定性包括四个方面：稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。李雅普诺夫第一法是间接法，这是通过状态方程解的特征来判断的。其稳定的充要条件是状态方程的特征值小于等于零。而第二法则是通过构造李氏函数来判定的。一般情况下单输入单输出线性系统的判据较多而且也很方便快捷，只有在多输入多输出的时候李氏判据用的较多，李氏判据真正的优势体现在非线性系统的判定中。 - 线性离散系统：当控制系统中的信号仅定义在离散时间上，这样的系统称为线性系统。其和连续系统有着相似之处，我们使用z变换来来分析其稳定性。
1）第一个判据：将s平面映射到z平面上，只要系统的特征值在z平面的单位圆内，系统稳定。使用数学关系将z变换和拉式变换转换之后代数稳定判据同样适用。 2）第二个判据：奈式稳定判据、伯德图。一般情况下伯德图用的较多 - 非线性系统：该系统的稳定性不但决定于系统的自身的特性还取决于扰动量和输入量。一般分析非线性系统的工程方法有两种，一是相平面法（适合一二阶）二是描述函数法（适合高阶）
1）第一个判据：相平面法。求出负描述函数 ，当系统线性部分的幅相特性曲线包括该函数则系统不稳定，不包围则系统稳定。 2）第二个判据：李雅普诺夫判据。在非线性系统中稳定性是相对系统的平衡态而言的，不同的平衡态有着不同的稳定性，所以只能分别讨论各个平衡态附近的稳定性。上文中介绍了李氏判据的基本方法。 李氏第一法中：在非线性系统中，根据其状态方程可以求出向量函数的雅克比矩阵，再将其线性化，此时得到的线性化方程的特征值就可以像线性系统一样判定其大小若小于等于零时系统是稳定的。 李氏第二法中：李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数（后来被称为李雅普诺夫函数），一般它与各个状态变量x及t有关，记为V（x，t）。若不显含t，则记为V（x）。它是一个标量函数，考虑到能量函数总是大于零，故为正定函数。能量衰减特性用), 表示。李雅普诺夫第二法利用V及 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状方程。具体如下：设系统的状态方程为 ，如果存在一个标量函数)V（x）它有连续的一阶偏导数，而且满足：（1） V（x）是正定的；（2） 是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 《现代控制理论》试卷 
1.系统的状态空间表达式为 解： 由matlab可得： A=[0 1;-2 -3]; >> [v,d]=eig(A) v = 0.7071 -0.4472 -0.7071 0.8944 d = -1 0 0 -2 其特征值是-1和-2，特征向量是v矩阵的两个列向量是其特征向量。 证明： 系统的特征方程是： 系统经过非奇异变换后 其特征方程是：  由matlab可得：T=[2.8284 1.4142;2.2361 2.2361]; B=[1;1]; T*B ans = 4.2426 4.4722 CT由matlab可得： C*v ans = 0.7071 -0.4472 
2.已知系统 试分析输出能控性和状态能控性。 解： 状态能控： 由matlab可知： a=[-4 5;1 0]; b=[-5;1]; c=[1 -1]; M=ctrb(a,b) M = -5 25 1 -5 可知M矩阵不满秩，所以该系统状态不能控。 输出能控： Rank（cb cab）=rank[-6 30]=1 该矩阵满秩，所以该系统输出能控 
3. 若系统的状态空间表达式为 该系统是否能观测？若能观测，试化为可观测标准型。 解： 由matlab可知： a=[1 -1;0 2]; b=0; c=[-1 -0.5]; N=obsv(a,c) N = -1.0000 -0.5000 -1.0000 0 该判别矩阵满秩，所以该系统可观测。 其能观标准型是： 4. 系统利用状态反馈 ，拟将极点配置在 和 ，模型如下: 试用三种不同方法确定状态反馈增益矩阵K。 解： 方法一：该形式已经是能控标准型，加入状态反馈阵后的特征多项式和期望的特征多项式是： 对照可得k=[199 55 8] 方法二： 对照  可得： K=[199 55 8] 方法三： 期望的特征方程是：
5. 试确定图示系统中增益K的稳定范围（应用李氏第二法）。 解：由系统框图可得其状态方程： 则： 由该式可以知道（0，0）点是平衡状态 设半正定矩阵 由 可以推出 解出 若p是正定矩阵则其一阶、二阶、三阶主子 式都要大于零即：  解不等式组可以知道k>0且12-2k>0最后可以知道k的取值范围是0<k<6
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