能带理论及相关应用-固体物理论文

摘要：

能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。本文综述了能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由相似、紧束缚相似及能带图示等相关原理，简要阐释了能带理论在解释导体、半导体和绝缘体性质和导电性方面的应用。

关键词：能带理论、近自由相似、紧束缚相似、导体、半导体、绝缘体

引言：

能带理论是固体物理中的重要的理论，他是研究固体中电子运动的主要理论基础，他在量子力学的运动规律确立以后，用量子学力学研究金属电导理论的过程中发展起来的，能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的；每个电子可以看成是独立地在1个等效势场中运动，按固体能带理论，物质的核外电子有不同的能量。根据核外电子能级的不同，把它们的能级划分为三种能带：导带、禁带和价带（满带）。

理论方法：

• 布洛赫定理
  

对于周期性势场，即

其中 取布拉维格子的所有格矢，

单电子薛定谔方程

的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即

且

从以上2式可以看出，布洛赫定理亦可表述为对上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢 ，使得

对属于布拉维格子的所有格矢 成立。

物理意义：平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

•    一维周期场中电子运动的近自由相似
  

这是能带理论中一个简单模型。该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子，周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。仅管模型简单，但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。

(1)零级近似时，用势场平均值代替弱周期场V(x)；

(2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏做为微扰处理。

零级近似下，电子只受到作用，波动方程及电子波函数，电子能量分别为：

……………………………………（6-2-1）

由于晶体不是无限长而是有限长L，因此波数k不能任意取值。当引入周期性边界条件，则k只能取下列值：，这里l为整数，

可见，零级近似的解为自由电子解的形式，故称为近自由电子近似理论。

如下图所示，在诸能带断开的间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带，禁带的位置及宽度取决于晶体的结构和势场的函数形式。

另一方面，对于波矢而言，N很大，故k很密集，可以认为是k的准连续函数，这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带1，2，3…。不难算出，每个能带所对应的k的取值范围都是2π/a，即一个倒格子原胞长度，而所包含的量子态数目是N，等于晶体中原胞的数目。

总体称为能带结构（n为能带编号），相邻两个能带与之间可以相接，重叠或是分开，对于一维周期性势场来说属于分开情况，则出现带隙——禁带。

3.紧束缚相似

紧束缚近似是将在一个原子附近的电子看作受该原子势场的作用为主，其他原子势场的作用看作微扰，从而可以得到电子的原子能级和晶体中能带之间的相互关系。

在此近似中，能带的电子波函数可以写成布洛赫波函数之和的形式：

其中被称为瓦尼尔函数。

能带的图示法：

（1）简约布里渊区图示

在这种表示中，k为简约波矢，即k限制在第一布里渊区内。E(k)是k的多值函数，为区分，将其按能量由低到高标记为，…，下图为一维情况。这种图示的特点是在简约布里渊区表示出所有能带，可以看到能带结构的全貌，E(k)是k的多值函数，通常都采用这种图

（2）重复区图示

第一布里渊区的每个能带在整个k空间周期性重复，如图所示。其特点：每个布里渊区都表示出所有的能带，E(k)是k的周期函数

（3）扩展区图示

按能量由低到高的顺序，分别将能带k限制在第一布里渊区、第二布里渊区，…等等。一个布里渊区表示一个能带，如图所示。其特点是：E(k)是k的单值函数，一个布里渊区表示一个能带。

利用能带理论区分导体、半导及绝缘体：

固体的导电性能由其能带结构决定，按固体能带理论,物质的核外电子有不同的能量.根据核外电子能级的不同,把它们的能级划分为三种能带：导带、禁带和价带（满带）。在禁带里,是不允许有电子存在的，禁带把导带和价带分开。

对于导体,它的大量电子处于导带,能自由移动。在电场作用下,成为载流子.因此,导体载流子的浓度很大。

对半导体,它的电子大多数都处于价带,不能自由移动。但它的禁带宽度很小，在热、光等外界因素的作用下,可以使少量价带中的电子越过禁带,跃迁到导带上去成为载流子。

绝缘体和半导体的区别主要是禁的宽度不同。半导体的禁带很窄,（一般低于3eV）,绝缘体的禁带宽一些,电子的跃迁困难得多。因此,绝缘体的载流子的浓度很小。导电性能很弱.实际绝缘体里,导带里的电子不是没有,并且总有一些电子会从价带跃迁到导带,但数量极少。所以,在一般情况下,可以忽略在外场作用下它们移动所形成的电流。

若晶体的原胞含有奇数个价电子，这种晶体必是导体；原胞含有偶数个价电子的晶体，如果能带交叠，则晶体是导体或半金属，如果能带没有交叠，禁带窄的晶体就是半导体，禁带宽的则是绝缘体。

导体、绝缘体和半导体的大致应用：

导体：水、溶液、金属、胶体、浊液、熔融液、人体等，一般金属都是导体，可以做成导线。

半导体：半导体的应用十分广泛，主要是制成有特殊功能的元器件，如晶体管、集成电路、整流器、激光器、发光管以及各种光电探测器件、微波器件等。

绝缘体：绝缘体通常用做电缆的外表覆层。陶瓷、橡胶、干布、干木头、塑料制品、空气、纯净的水、玻璃、经过加工的绝缘油、电木、云母等都是绝缘体。局限性：

能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。多电子理论建立后，单电子能带论的结果常作为多电子理论的起点，在解决现代复杂问题时，两种理论是相辅相成的。

结论：

能带理论是现代固体理论基础的理论基础，它可以使问题简化，对于导体、半导体、绝缘体的区分有着重要应用，利用近自由相似、紧束缚相似法可以区分出导体等的能带，而导体、半导体、绝缘体在生活、科研等各方面都有着广泛的应用。总之，能带理论对微电子技术的发展起着不可估量的作用。

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